s-t diagram vid lutande bana (observatorieexperiment)

När en vagn skjuts iväg på en uppåtlutande bana förändras förhållandet mellan läge och tid exponentiellt, och  sambandet mellan läge och tid beskrivas med en andragradsfunktion. Detta har undersökts med hjälp av:

• En bana
• Ett stopp
• En rörelsesensor
• Ett interface
• Datorprogrammet PASCO capstone

Detta gjordes för att kunna visa hur andragradsfunktioner kan tillämpas i  verkligheten. Resultaten redovisas i tabellen och grafen nedan och videon visar hur undersökningen gick till.

HÄR kan ni hitta mätvärdena för min medlaborant, Susans, mätrunda.

A-värdet kan läsas av ur grafen och är lika med -0,336. Detta betyder att parabeln har en maximipunkt och därmed är öppen nedåt. A-värdet bestämmer även hur öppen parabeln ska vara. B-värdet, vilket bestämmer var koordinatsystemet grafen ska befinna sig, kan också läsas ut och det är lika med 1,40. C-värdet är lika med 0,0486, vilket innebär att grafen skär y-axeln i punkten (0 ; 0,0486). 

I grafen framgår att den praktiska grafen (prickad) inte följer den matematiska grafen (heldragen) fullt ut beror på att mätningen har en specifik start- och slutpunkt, medan själva grafen fortsätter i all oändlighet. Man kan inte påbörja mätningen vid funktionens nollställen (vilka visar tiden när s = 0) då vår reaktionsförmåga gör det näst intill omöjligt att påbörja mätningen när tiden är exakt lika med 0, och vagnen kan inte heller färdas i negativ riktning, eftersom det skulle innebära att vagnen färdas genom rörelsesensorn. Dessutom kan inte heller tiden vara vara negativ i praktiken, vilket också är en faktor som gör att den praktiska grafen inte kan se likadan ut som den teoretiska grafen.

Om dessa värden sedan sätts in i formeln At^2 + Bt + C får man ut funktionen som beskriver vagnens läge i samband med tiden och som kan skrivas:

s=-0,336t^2+1,40t+0,0486

Där s =vagnens läge i meter, och t=tiden i sekunder.

För att få full förståelse för C-värdets innebörd kan man nu sätta in t=0 i funktionen, vilket ger:

s=-0.336*0^2+1,40*0+0,0486

Eftersom allt som multipliceras med 0 är lika med 0 blir lösningen s=0,0486, vilket innebär att vagnen borde ha befunnit sig 0,0486m från rörelsesensorn när t=0 (precis när mätningen påpörjas). Om man däremot tittar på grafen så skär den praktiska grafen y-axeln i en annan punkt än den matematiska grafen. Detta beror på att vi påbörjade mätningen när vagnen fortfarande inte hade skjutits iväg, utan den var stillastående en kort stund innan den skjutsades iväg.

Genom att använda pq-formeln (Som med givna värden där alla tal delats med -0,336 för att t^2 ska stå ensamt är: t=-(-4,17/2)±√((-4,17/2)^2+0,14) )  kan man även få reda på funktionens nollstället, vilka i detta fallet är både t≈4,20 och t≈-0.033. Dessa visar hur lång tid som har passerat när vagnens läge är 0m. Dock så är det ena t-värdet negativt , vilket innebär att tiden skulle vara negativ när vagnen befinner sig i det läget, något som inte är genomförbart i praktiken. Dessutom avslutades mätningen innan vagnen befann sig i sitt ursprungsläge (precis vid rörelsesensor), alltså går nollställena inte att återfinnas i vagnens uppmätta rörelsebana.

Ur pq-formeln kan även grafens symmetrilinje räknas ut (Kvoten för talen innan roten ur tecknet, alltså -(-4,17)/2). I detta fall är dess ekvation t ≈ 2,09. Om detta sedan sätts in i funktionen ovan fås ekvationen:

s=-0,336*2.09^2+1,40*2.09+0,0486

Lösningen för denna är att s ≈ 1,51, samt att koordinaterna för grafens vertex därmed är ungefär (2,09 ; 1,51). Eftersom t-värdet är negativ är vertex en maximipunkt, vilket innebär att vagnen rör sig i positiv riktning ända fram till läget 1,51m, för att sedan röra sig i negativ riktning tills dess att mätningen avslutas. Ur vertex koordinater kan även fås att tiden som går åt för att vagnen ska ta sig till läget 1,51m är ungefär 2,09 sekunder.

Om man däremot tittar på Susans mätrunda så ser hennes graf och A-, B- samt C-värden annorlunda ut. Anledningen till detta är att det är näst intill omöjligt att få en vagn att åka upp för en lutande bana startandes från exakt samma plats och med exakt samma kraft varje gång utan att tekniska hjälpmedel för detta används. Detta gör att det inte går att sammanställa ett s-t-diagram som gäller för alla vagnar som skjuts upp på denna bana, utan varje mätrunda kommer ge ett annorlunda resultat.

Den matematiska grafen och den praktiska grafen måste alltså hållas isär, vilket visas tydligt i den här undersökningen.  Till exempel kan tiden inte vara negativ, och vagnen kan inte åka igenom själva rörelsesensorn. En stor del av den matematiska grafen beskriver alltså händelser som inte kan uppstå i verkligheten, vilket gör att de värden som beskriver dessa händelser är relativt orelevanta om man ska undersöka vagnens rörelse. Man kan inte heller rita upp en graf som stämmer för alla gånger en vagn skjutsas upp för en lutande bana.